.: 2011

lunes, 20 de junio de 2011

Indroduccion al Numero de Oro

Tres numeros con nombre

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:

El número designado con la letra griega π = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2.π. radio= π.diámetro).
El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .
El número designado con letra griega φ= 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad.
sta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente
X 1 - X
|----------------------|----------|
1

Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver
Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=.
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro número de oro).
Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea.

1 - Analizar Dimesiones

1.1 El partenón

El Partenón (en griego antiguo Παρθενών/Parthenṓn (de παρθένος, nombre femenino, «mujer joven, virgen») literalmente «la residencia de las jóvenes»,¹ es decir, aquí «la residencia de Atenea Partenos»). El Partenón es uno de los principales templos dóricos que se conservan, construido entre los años 447 y432 a. C., sus dimensiones aproximadas son: 69,5 metros de largo, por 30,9 de ancho; las columnas tienen 10,4 metros de altura. Está dedicado a la diosa griegaAtenea, a la que los atenienses consideraban su protectora.

Se puede comprobar de manera aproximada que:

AB/CD = φ

AC/AD = φ

CD/CA = φ

1.2 La Catedral de la Inmaculada Concepcion

La Catedral de la Inmaculada Concepción de La Plata se levanta frente a la plaza Moreno, en la manzana comprendida por las calles 14 y 15 y los boulevares 51 y 53.

Con ladrillo a la vista y por lo tanto inconfundible y bellamente rojiza, se ha convertido en el símbolo más característico de La Plata. En el estilo neogótico es la más grande de América: su superficie es de 7000 m2 , tiene capacidad para 14.000 personas, mide 120 m de largo por 76 de frente, y la altura tomada hasta la cruz es de 97m.

El 30 de abril de 1884 fue colocada su piedra fundamental por decisión de Dardo Rocha, aunque los planos estuvieron concluidos un año después. Fue inaugurada al público en 1932, cuando la ciudad cumplía su cincuentenario.

La catedral neogótica platense fue inspirada en las catedrales góticas de Amiens (Francia) y de Colonia (Alemania).

Se puede comprobar que la razon entre el largo y el ancho es aproximadamente phi

Largo/Ancho = 120/76 = 1.578 aprox siendo phi = 1,618034

1.3 Proporcion Cordobesa

En diversos trabajos de investigación (de arquitectura, sobre pintura, etc.) aparece un rectángulo que no está en la proporción áurea, sino que la relación entre sus lados es de 1,3... (Sin ir más lejos, si la resolución de tu ordenador es de 800x600, se encuandra en la misma proporción)
Si el número áureo puede establecerse como la relación existente entre el lado del decágono regular y el radio de la circunferencia circunscrita al mismo, pareció lógico buscar una relación de la misma naturaleza con la que dicha proporción quedara geométricamente fundamentada.
La misma quedó establecida al obtener la proporción buscada como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste.
Cualquier matemático, o buen aficionado, sabe que esta relación es:

Dicho cociente es c = 1,306562964 ... que se conoce como número cordobés
Al ser más fácil construir un octógono regular que un pentágono, dicha proporción se extendió rápidamente quedando de manifiesto en múltiples obras pictóricas y arquitectónicas.

Consideremos la circunferencia de radio R.

Si trazamos la bisectriz del primer cuadrante, el segmento

NP = X es el lado del octógono regular inscrito en dicha circunferencia.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo NOM resulta que

(MN)² = R² + R²

por lo que

Por simetría OP' = MN/2 (ya que NP'= MN/2 y OP' = P'N)
Como QNP es recto, aplicando el teorema del cateto resulta:

X /QP = P'P/ X

de donde

X² = QP. P'P = 2R (OP - OP')

es decir:

De esta expresión deducimos (considerando la circunferencia de radio unidad, radio R = 1) que:

domingo, 19 de junio de 2011

1.4 El número plástico y la Divina proporcion

Números mórficos. Dom Hans van der Laan.

Los números mórficos son únicamente dos, el número de oro y el número plástico.Este último viene a ser la razón ideal para una escala geométrica para objetos espaciales, o una especie de número de oro espacial.

Sin ánimo de entrar en los sesudos estudios matemáticos en torno al tema, podemos decir que el número plástico es la intersección entre la función de y = x3 y la recta y = x+1, dicha intersección es un único punto

1,32471795...... Este número pertenece a la familia de los números plásticos soluciones reales positivas de la ecuación xn – x – 1 = 0, si n = 2 obtenemos Φ el número de oro, si n = 3 la solución es el número plástico.

El rectángulo áureo es el único en el cual la prolongación de una diagonal contiene el vértice del mismo rectángulo adyacente colocado verticalmente al lado. Esta misma propiedad se produce tridimensionalmente entre dos sólidos que cumplan el siguiente teorema :

Un paralelepípedo de lados a,b y c \ a ≥ b ≥ c satisface la propiedad de la figura inferior si y solo si
a= P c ; b = P c ; con c arbitrarios y P es el número plástico P= 1,3247... solución real de la ecuación x3 = x + 1 .
(teneis que perdonar pero el dichoso blog no me permite los superíndices para las potencias y no que dan bien las espresiones.)

Proporcionalidad en el arte: dupla, áurea, …(1:1,618 –número φ-es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.), relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste. Segmentos a + b /a = a / b (Raiz real y positiva de X2 - X - 1 = 0) Proporción cordobesa (radio circunferencia / lado octógono inscrito, número cordobés = 1,3065..), número de plata o número plástico (1+ raíz cuadrada de 2 = 1,3247 (Raiz real y positiva de X3 - X - 1 = 0)

El número φ es un representante de los denominados números mórficos que tienen la interesante propiedad de que existen dos valores k y l para los que se cumple que

Condición de número mórfico. k=2 y l=1 dan la razón áurea, k=3 y l=4, el número plástico. El gráfico muestra las interesantes propiedades de estos dos número. Si p es la razón áurea, 1+p=p² y p-1=1/p. Si p es el número plástico se cumple p-1= p^-4 y p³=p+1

martes, 19 de abril de 2011

2 - Organizar Relaciones

2.1 Le Corbusier y Fibonacci.

El Modulor

Artículo principal: Modulor

Ideó el Modulor, sistema de medidas basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el Número Áureo, para que sirviese de medida de las partes de arquitectura. De esta forma retomaba el ideal antiguo de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre. Tomó como escala del hombre francés medio de esa época: 1,75 m de estatura; y más adelante añadió la del policía británico de 6 pies (1,8288 m), lo que dio el Modulor II. Los resultados de estas investigaciones fueron publicados en un libro con el mismo nombre del Modulor.

Los números de Fibonacci $f_0,f_1,f_2,f_3,\dots$ quedan definidos por las ecuaciones

(1) $f_0=0\,$

(2) $f_1=1\,$

(3) $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,$ para $n = 2,3,4,5,\ldots$

Esto produce los números

§ $f_0 = 0\,$

§ $f_1 = 1\,$

§ $f_2 = 1\,$

§ $f_3 = 2\,$

§ $f_4 = 3\,$

§ $f_5 = 5\,$

§ $f_6 = 8\,$

§ $f_7 = 13\,$

§ $f_8 = 21\,$

y así sucesivamente de manera infinita.

a sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)

Análogamente, el 3 es sólo (1+2),

Y el 5 es (2+3),

¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

Razón de oro

Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos(uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea"φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...

De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A	B	B / A
2	3	1.5
3	5	1.666666666...
5	8	1.6
8	13	1.625
...	...	...
144	233	1.618055556...
233	377	1.618025751...
...	...	...

La Ergonomia

La ergonomía es la ciencia del trabajo. El término

“ergonómico” es un derivado de las palabras griegas

Ergos, que significa trabajo, y Nomos, que significa las

leyes de o el estudio de. De forma literal, ergonomía

significa “las leyes del trabajo”. La ciencia de la

ergonomía se basa en varias disciplinas diferentes

para recopilar información sobre las habilidades, las

limitaciones, y las características del ser humano

que son pertinentes en el diseño de un mejor lugar de

trabajo. Los ergonomistas examinan la anatomía y la

mecánica del cuerpo para entender cómo funciona

la máquina humana. La ingeniería, otro principio de

ciencia que utilizan los ergonomistas, también ayuda en

el desarrollo de nuevos procesos, herramientas, y mesas

de trabajo. Los lugares de trabajo diseñados a base de

principios ergonómicos aumentan las capacidades de

los empleados para trabajar con más productividad.

Desafortunadamente, ocurren lesiones cuando las

demandas de un trabajo exceden los límites del

trabajador. El objeto de la ergonomía es prevenir estas

lesiones.

Las metas generales de un programa de ergonomía

son muy sencillas:

• Reducir las lesiones y enfermedades ocupacionales;

• Reducir los costos de compensación al trabajador;

• Aumentar la producción;

• Mejorar la calidad de trabajo; y

• Disminuir el ausentismo.

La aplicación de la ergonomía en el diseño del lugar

de trabajo ayudará en cumplir con estas metas y en

mejorar la calidad de vida de los empleados

viernes, 18 de marzo de 2011

3 - Formas de Trabajar en Matematicas

3. 1 a Rectangulo aureo

El rectángulo áureo de Euclides.

A partir del cuadrado ABCD, Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD.

El rectángulo BEFC, es proporcional al rectángulo AEFD es asimismo áureo.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo.
Euclides en su proposición 2.11 de "Los elementos" obtiene su construcción. Partimos del cuadrado ABCD de lado 2, siendo G el punto medio de uno de sus lados. Por lo tanto tenemo las siguientes medidas:
GB = 1; BC = 2 y GC = h

De acuerdo con el teorema de Pitágoras:

h² = C² + C² por lo que, GC² = BG² + BC²

y resolviendo la ecuación obtenemos

. Volviendo a la figura del cuadrado ABCD, haciendo centro en G, punto medio de AB se obtiene el punto E y por lo tanto

resultando evidente que

concluyendo con el resultado

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

3.1 b Justificacion

Phi a partir de un Segmento.

Enunciado: El numero Phi es una proporción de tal manera que se dividimos un segmento cualquiera en dos partes, a y b, la razón entre la totalidad del segmento y la parte a sea igual a la razón entre la parte a y la parte b.

Expresado matemáticamente representaríamos esta proporción mediante la siguiente razón:

A esta razón, que cumple la propiedad, se le denomina razón áurea o número dorado. Podemos obtener este número a partir de la expresión anterior, despejando autilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a > 0 : Dividiendo todo por b obtenemos:

a / b = 1,618 o lo que es lo mismo
b = a/1,618, expresado de otra forma
b = 1/1,618 . a;
b = 0,618 . a;
b/a = 0,618;
(a + b) 0,618 = a resolviendo que a +b = a / 0,618 y por lo tanto
(a + b) / a = 1 / 0,618; en definitiva (a + b) / a = 1,618, sustituyendo el número por sus valor volvemos al planteamiento inicial :

con lo que queda demostrado dicho planteamiento

3.2 Triangulo

Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E.

Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D.

Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1

3.3 Pentagono inscrito

El pentágono regular era el símbolo de los pitagóricos.

El pentágono regular es una figura geométrica plana cuyos cinco lados y ángulos son iguales.

Los triángulos AGB, AFC y AED son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales. POr lo tanto: AB / GB = AC / FC = AD / ED, pero como GB = BC y FC = CD, podemos establecer que AB / BC = AC / AB = AD / AC.

El pentágono regular está relacionado con el número de oro. Si hacemos ED = 1, AC será igual al número de oro.

3.5

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide $\sqrt{2}$ :

Si $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ es un número racional donde $\frac{p}{q}$ está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2p².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y qno tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que $\sqrt{2}$ es un número racional debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a $\sqrt{2}$ entoncesp=a+2b y q=a+b son tales que p/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación. Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta.

3.6 a y b - Representacion grafica de raiz de 2

3.6 c - Representacion grafica de raiz de 3

3.6 d
Si el rectangulo anterior tuviese por altura 3 en vez de 1...representariamos raiz cuadrada de 11

3.6 e
La raiz cuadrada de 7 con un triangulo de base 2 y altura raiz cuadrada de 3

3.7 - Dificultades encontradas:
Principalmente costo encontrar alguna bibliografia, graficos y demas...se hizo un poco complicado coordinar y organizar el informe ya que la variedad de puntos en donde se encuentran los irracionales es muy amplia, pero solo hay informacion especifica de aquellos mas conocidos o famosos..llamese numero de oro o numero plastico.
Por lo demas, el trabajo ha sido extenuante, pero esperamos que se pueda aprender mas sobre los irracionales en la construccion, la vida diaria, etc