lunes, 20 de junio de 2011

Indroduccion al Numero de Oro



Tres numeros con nombre

Hay tres números de gran importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra. Estos números son:
  • El número designado con la letra griega  π = 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro ( Longitud = 2.π. radio= π.diámetro).
  • El número e = 2´71828......, inicial del apellido de su descubridor Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece como límite de la sucesión de término general .
  • El número designado con letra griega φ= 1,61803... (Fi), llamado número de oro y que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

    La sección áurea es la división armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad.
    sta proporción o forma de seleccionar proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.
    Tomemos un segmento de longitud uno y hagamos en el la división indicada anteriormente
                                                  X               1 - X
    |----------------------|----------|
    1

    Aplicando la proporción áurea obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver
    Una de las soluciones de esta ecuación (la solución positiva) es x=.

    El rectángulo áureo

    Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.
    Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale  por lo que la proporción entre los dos lados es  (nuestro número de oro).
    Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea.


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1 - Analizar Dimesiones

1.1 El partenón


El Partenón (en griego antiguo Παρθενών/Parthenṓn (de παρθένος, nombre femenino, «mujer joven, virgen») literalmente «la residencia de las jóvenes»,1 es decir, aquí «la residencia de Atenea Partenos»). El Partenón es uno de los principales templos dóricos que se conservan, construido entre los años 447 y432 a. C., sus dimensiones aproximadas son: 69,5 metros de largo, por 30,9 de ancho; las columnas tienen 10,4 metros de altura. Está dedicado a la diosa griegaAtenea, a la que los atenienses consideraban su protectora.


Se puede comprobar de manera aproximada que:

AB/CD = φ 
AC/AD = φ
CD/CA = φ 

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1.2 La Catedral de la Inmaculada Concepcion

La Catedral de la Inmaculada Concepción de La Plata se levanta frente a la plaza Moreno, en la manzana comprendida por las calles 14 y 15 y los boulevares 51 y 53.
Con ladrillo a la vista y por lo tanto inconfundible y bellamente rojiza, se ha convertido en el símbolo más característico de La Plata. En el estilo neogótico es la más grande de América: su superficie es de 7000 m2 , tiene capacidad para 14.000 personas, mide 120 m de largo por 76 de frente, y la altura tomada hasta la cruz es de 97m.
El 30 de abril de 1884 fue colocada su piedra fundamental por decisión de Dardo Rocha, aunque los planos estuvieron concluidos un año después. Fue inaugurada al público en 1932, cuando la ciudad cumplía su cincuentenario.
La catedral neogótica platense fue inspirada en las catedrales góticas de Amiens (Francia) y de Colonia (Alemania).

Se puede comprobar que la razon entre el largo y el ancho es aproximadamente phi
Largo/Ancho = 120/76 = 1.578 aprox siendo phi = 1,618034
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1.3 Proporcion Cordobesa


En diversos trabajos de investigación (de arquitectura, sobre pintura, etc.) aparece un rectángulo que no está en la proporción áurea, sino que la relación entre sus lados es de 1,3... (Sin ir más lejos, si la resolución de tu ordenador es de 800x600, se encuandra en la misma proporción)
Si el número áureo puede establecerse como la relación existente entre el lado del decágono regular y el radio de la circunferencia circunscrita al mismo, pareció lógico buscar una relación de la misma naturaleza con la que dicha proporción quedara geométricamente fundamentada.
La misma quedó establecida al obtener la proporción buscada como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste.
Cualquier matemático, o buen aficionado, sabe que esta relación es:


                                                                    
Dicho cociente es c = 1,306562964 ... que se conoce como número cordobés
Al ser más fácil construir un octógono regular que un pentágono, dicha proporción se extendió rápidamente quedando de manifiesto en múltiples obras pictóricas y arquitectónicas.


Consideremos la circunferencia de radio R.
Si trazamos la bisectriz del primer cuadrante, el segmento
NP = X es el lado del octógono regular inscrito en dicha circunferencia.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo NOM resulta que
(MN)2 = R2 + R2
por lo que


Por simetría OP' = MN/2 (ya que NP'= MN/2 y OP' = P'N)
Como QNP es recto, aplicando el teorema del cateto resulta:
X /QP = P'P/ X
de donde
X2 = QP. P'P = 2R (OP - OP')


es decir:


De esta expresión deducimos (considerando la circunferencia de radio unidad, radio R = 1) que:







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domingo, 19 de junio de 2011

1.4 El número plástico y la Divina proporcion


Números mórficos. Dom Hans van der Laan.

Los números mórficos son únicamente dos, el número de oro y el número plástico.Este último viene a ser la razón ideal para una escala geométrica para objetos espaciales, o una especie de número de oro espacial.
Sin ánimo de entrar en los sesudos estudios matemáticos en torno al tema, podemos decir que el número plástico es la intersección entre la función de y = x3 y la recta y = x+1, dicha intersección es un único punto
1,32471795...... Este número pertenece a la familia de los números plásticos soluciones reales positivas de la ecuación xn – x – 1 = 0, si n = 2 obtenemos Φ el número de oro, si n = 3 la solución es el número plástico.
El rectángulo áureo es el único en el cual la prolongación de una diagonal contiene el vértice del mismo rectángulo adyacente colocado verticalmente al lado. Esta misma propiedad se produce tridimensionalmente entre dos sólidos que cumplan el siguiente teorema :
Un paralelepípedo de lados a,b y c \ a ≥ b ≥ c satisface la propiedad de la figura inferior si y solo si
a= P c ; b = P c ; con c arbitrarios y P es el número plástico P= 1,3247... solución real de la ecuación x3 = x + 1 .
(teneis que perdonar pero el dichoso blog no me permite los superíndices para las potencias y no que dan bien las espresiones.)




 Proporcionalidad en el arte: dupla, áurea, …(1:1,618 –número φ-es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.), relación entre el lado del pentágono regular y la recta que une dos vértices no consecutivos de éste.  Segmentos  a + b  /a  =   a / b (Raiz real y positiva de X2 -  X - 1 = 0) Proporción cordobesa (radio circunferencia / lado octógono inscrito, número cordobés = 1,3065..), número de plata o número plástico (1+ raíz cuadrada de 2   = 1,3247  (Raiz real y positiva de X3 - X - 1 = 0)
El número φ es un representante de los denominados números mórficos que tienen la interesante propiedad de que existen dos valores k y l para los que se cumple que 





Condición de número mórfico. k=2 y l=1 dan la razón áurea, k=3 y l=4, el número plástico. El gráfico muestra las interesantes propiedades de estos dos número. Si p es la razón áurea, 1+p=p2 y p-1=1/p. Si p es el número plástico se cumple p-1= p-4 y p3=p+1

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martes, 19 de abril de 2011

2 - Organizar Relaciones



2.1 Le Corbusier y Fibonacci.


El Modulor
Artículo principal: Modulor
Ideó el Modulor, sistema de medidas basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el Número Áureo, para que sirviese de medida de las partes de arquitectura. De esta forma retomaba el ideal antiguo de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre. Tomó como escala del hombre francés medio de esa época: 1,75 m de estatura; y más adelante añadió la del policía británico de 6 pies (1,8288 m), lo que dio el Modulor II. Los resultados de estas investigaciones fueron publicados en un libro con el mismo nombre del Modulor.
Los números de Fibonacci f_0,f_1,f_2,f_3,\dots quedan definidos por las ecuaciones
(1)f_0=0\,
(2)f_1=1\,
(3)f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\, para n = 2,3,4,5,\ldots
Esto produce los números
§  f_0 = 0\,
§  f_1 = 1\,
§  f_2 = 1\,
§  f_3 = 2\,
§  f_4 = 3\,
§  f_5 = 5\,
§  f_6 = 8\,
§  f_7 = 13\,
§  f_8 = 21\,
y así sucesivamente de manera infinita.
a sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.
  • El 2 se calcula sumando (1+1)
  • Análogamente, el 3 es sólo (1+2),
  • Y el 5 es (2+3),
  • ¡y sigue!
Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

Razón de oro
Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos(uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea"φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...
De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A
B

B / A
2
3

1.5
3
5

1.666666666...
5
8

1.6
8
13

1.625
...
...

...
144
233

1.618055556...
233
377

1.618025751...
...
...

...


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La Ergonomia

La ergonomía es la ciencia del trabajo. El término
“ergonómico” es un derivado de las palabras griegas
Ergos, que significa trabajo, y Nomos, que significa las
leyes de o el estudio de. De forma literal, ergonomía
significa “las leyes del trabajo”. La ciencia de la
ergonomía se basa en varias disciplinas diferentes
para recopilar información sobre las habilidades, las
limitaciones, y las características del ser humano
que son pertinentes en el diseño de un mejor lugar de
trabajo. Los ergonomistas examinan la anatomía y la
mecánica del cuerpo para entender cómo funciona
la máquina humana. La ingeniería, otro principio de
ciencia que utilizan los ergonomistas, también ayuda en
el desarrollo de nuevos procesos, herramientas, y mesas
de trabajo. Los lugares de trabajo diseñados a base de
principios ergonómicos aumentan las capacidades de
los empleados para trabajar con más productividad.
Desafortunadamente, ocurren lesiones cuando las
demandas de un trabajo exceden los límites del
trabajador. El objeto de la ergonomía es prevenir estas
lesiones.
Las metas generales de un programa de ergonomía
son muy sencillas:
• Reducir las lesiones y enfermedades ocupacionales;
• Reducir los costos de compensación al trabajador;
• Aumentar la producción;
• Mejorar la calidad de trabajo; y
• Disminuir el ausentismo.
La aplicación de la ergonomía en el diseño del lugar
de trabajo ayudará en cumplir con estas metas y en
mejorar la calidad de vida de los empleados
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