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2.1 Le Corbusier y Fibonacci.

El Modulor

Artículo principal: Modulor

Ideó el Modulor, sistema de medidas basado en las proporciones humanas, en que cada magnitud se relaciona con la anterior por el Número Áureo, para que sirviese de medida de las partes de arquitectura. De esta forma retomaba el ideal antiguo de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre. Tomó como escala del hombre francés medio de esa época: 1,75 m de estatura; y más adelante añadió la del policía británico de 6 pies (1,8288 m), lo que dio el Modulor II. Los resultados de estas investigaciones fueron publicados en un libro con el mismo nombre del Modulor.

Los números de Fibonacci $f_0,f_1,f_2,f_3,\dots$ quedan definidos por las ecuaciones

(1) $f_0=0\,$

(2) $f_1=1\,$

(3) $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,$ para $n = 2,3,4,5,\ldots$

Esto produce los números

§ $f_0 = 0\,$

§ $f_1 = 1\,$

§ $f_2 = 1\,$

§ $f_3 = 2\,$

§ $f_4 = 3\,$

§ $f_5 = 5\,$

§ $f_6 = 8\,$

§ $f_7 = 13\,$

§ $f_8 = 21\,$

y así sucesivamente de manera infinita.

a sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1)

Análogamente, el 3 es sólo (1+2),

Y el 5 es (2+3),

¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55

Razón de oro

Y hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos(uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea"φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...

De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A	B	B / A
2	3	1.5
3	5	1.666666666...
5	8	1.6
8	13	1.625
...	...	...
144	233	1.618055556...
233	377	1.618025751...
...	...	...

3. 1 a Rectangulo aureo

El rectángulo áureo de Euclides.

A partir del cuadrado ABCD, Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD.

El rectángulo BEFC, es proporcional al rectángulo AEFD es asimismo áureo.
El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo.
Euclides en su proposición 2.11 de "Los elementos" obtiene su construcción. Partimos del cuadrado ABCD de lado 2, siendo G el punto medio de uno de sus lados. Por lo tanto tenemo las siguientes medidas:
GB = 1; BC = 2 y GC = h

De acuerdo con el teorema de Pitágoras:

h² = C² + C² por lo que, GC² = BG² + BC²

y resolviendo la ecuación obtenemos

. Volviendo a la figura del cuadrado ABCD, haciendo centro en G, punto medio de AB se obtiene el punto E y por lo tanto

resultando evidente que

concluyendo con el resultado

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

3.1 b Justificacion

Phi a partir de un Segmento.

Enunciado: El numero Phi es una proporción de tal manera que se dividimos un segmento cualquiera en dos partes, a y b, la razón entre la totalidad del segmento y la parte a sea igual a la razón entre la parte a y la parte b.

Expresado matemáticamente representaríamos esta proporción mediante la siguiente razón:

A esta razón, que cumple la propiedad, se le denomina razón áurea o número dorado. Podemos obtener este número a partir de la expresión anterior, despejando autilizando la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, teniendo en cuenta que a > 0 : Dividiendo todo por b obtenemos:

a / b = 1,618 o lo que es lo mismo
b = a/1,618, expresado de otra forma
b = 1/1,618 . a;
b = 0,618 . a;
b/a = 0,618;
(a + b) 0,618 = a resolviendo que a +b = a / 0,618 y por lo tanto
(a + b) / a = 1 / 0,618; en definitiva (a + b) / a = 1,618, sustituyendo el número por sus valor volvemos al planteamiento inicial :

con lo que queda demostrado dicho planteamiento

3.2 Triangulo

Se dibuja un triangulo Rectángulo ABC con el ángulo recto en la esquina A. El segmento BC es la hipotenusa de este triangulo. El cateto AB mide 2 y el cateto AC mide 1. Trazamos una prolongación de la hipotenusa en dirección B->C hasta que se cruza con el arco de centro C y con un radio que alcanza el punto A. El punto donde se intersecan la prolongación de la hipotenusa y el arco anteriormente mencionado es el punto E.

Se traza dos arcos, un con centro en B y radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) y otro con centro en E y radio de 2. Se traza una línea que pase por los dos puntos donde se intersecan los dos arcos anteriores. Esta línea cruza la hipotenusa del triangulo en el punto D.

Los dos segmentos BD Y ED miden exactamente el valor de Phi y CD es igual a Φ/1

3.3 Pentagono inscrito

El pentágono regular era el símbolo de los pitagóricos.

El pentágono regular es una figura geométrica plana cuyos cinco lados y ángulos son iguales.

Los triángulos AGB, AFC y AED son semejantes porque tienen los tres ángulos iguales. POr lo tanto: AB / GB = AC / FC = AD / ED, pero como GB = BC y FC = CD, podemos establecer que AB / BC = AC / AB = AD / AC.

El pentágono regular está relacionado con el número de oro. Si hacemos ED = 1, AC será igual al número de oro.

3.5

Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».

En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.

Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide $\sqrt{2}$ :

Si $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ es un número racional donde $\frac{p}{q}$ está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q²=p².

La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2p².

Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es imposible, puesto que p y qno tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).

Por tanto, la suposición misma de que $\sqrt{2}$ es un número racional debe ser falsa.

Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.

Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a $\sqrt{2}$ entoncesp=a+2b y q=a+b son tales que p/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación. Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta.

3.6 a y b - Representacion grafica de raiz de 2

3.6 c - Representacion grafica de raiz de 3

3.6 d
Si el rectangulo anterior tuviese por altura 3 en vez de 1...representariamos raiz cuadrada de 11

3.6 e
La raiz cuadrada de 7 con un triangulo de base 2 y altura raiz cuadrada de 3

3.7 - Dificultades encontradas:
Principalmente costo encontrar alguna bibliografia, graficos y demas...se hizo un poco complicado coordinar y organizar el informe ya que la variedad de puntos en donde se encuentran los irracionales es muy amplia, pero solo hay informacion especifica de aquellos mas conocidos o famosos..llamese numero de oro o numero plastico.
Por lo demas, el trabajo ha sido extenuante, pero esperamos que se pueda aprender mas sobre los irracionales en la construccion, la vida diaria, etc

martes, 19 de abril de 2011

2 - Organizar Relaciones

Razón de oro

La Ergonomia

viernes, 18 de marzo de 2011

3 - Formas de Trabajar en Matematicas